Matematika ; PLSV dan PTLSV

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

1. Persamaan Linear

Persamaan Linear adalah kalimat terbuka yang memuat tanda "sama dengan"atau "=". Sementara itu, yang dimaksud kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya atau kalimat yang masih memuat variabel. 

Persamaan linear adalah suatu persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tepat satu. 

a. Persamaan linear satu variabel 

contoh : 

• 2x + 10 = 0                  variabel : x
• 2t = 14                         variabel : t

b. Persamaan linear dua variabel 

contoh :

• x + 3y = 9                    variabel : x dan y
• 2m - 3n =15                variabel : m dan n

c. Persamaan linear tiga variabel 

contoh :

• 2x + y -3z = 20             variabel : x,y, dan z
• 2p - 5q + 2r = -3            varabel : p,q, dan r

bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah ax+b = 0

beberapa sifat yang perlu di perhatikan dalam menyelesaikan persamaan linear satu variabel adalah sebagai berikut : 

1. Nilai persamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan ditambah atau dikurang dengan bilangan yang sama.
2. Nilai persamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan di kali atau dibagi dengan bilangan tak nol yang sama.

     2. Pertidaksamaan Linear

pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda "kurang dari,kurangdari sama dengan, lebih dari,lebih dari sama dengan,dan tidak sama"

bentuk umum pertidaksamaan linear satu variabel adalah ax+b>0,ax+b<0 dan lain-lain.

menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel hampir sama dengan mencari himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel ,yaitu mencari nilai untuk variabelnya agar kalimat terbuka tersebut menjadi kalimat tertutup yang bernilai benar. 

CONTOH SOAL

1.Taman bunga Pak Rahman berbentuk  persegi panjang dengan ukuran panjang diagonalnya (3x + 15) meter dan (5x + 5) meter. Panjang diagonal taman bunga tersebut adalah...A. 10 meterB. 25 meterC. 30 meterD. 55 meterPembahasan:
Seperti yang diketahui bahwa persegi panjang memiliki 2 diagonal yang sama panjang. Jadi:
Diagonal 1 = 3x + 15
Diagonal 2 = 5x + 5
Karena diagonal 1 = diagonal 2, maka:
3x + 15 =5x +  5
<=> 3x - 5x = 5 - 15
<=> -2x = -10
<=>    x = -10/-2
<=>    x = 5
Subtitusi nilai x = 5 ke salah satu diagonal:
Diagonal = 3x + 15
               = 3(5) + 15
               = 15 +  15
               = 30
Jadi, panjang diagonal taman bunga tersebut adalah 30 meter
(JAWABAN : C)

2.Soal ❷(UN 2017)
Kebun  sayur Pak Joko berbentuk persegi dengan panjang diagonal (4x +6)dan (2x + 16) meter. Panjang diagonal kebun sayur tersebut adalah....A. 38 meterB. 32 meterC. 28 meterD. 26 meterPembahasan:Sama hanya dengan soal Nomor 1, bahwa persegi panjang memiliki 2 diagonal yang sama panjang. Jadi:
Diagonal 1 = diagonal 2
4x + 6 = 2x + 16
<=> 4x - 2x =  16 - 6
<=> 2x =10
<=> x = 10/2
<=> x = 5
Subtitusi nilai x = 5 ke salah satu persamaan diagonal:
4x + 6  = 4(5) + 6 = 26Jadi, panjang diagonal kebun sayur tersebut adalah 26 meter.
(JAWABAN : D)

3.Soal ❸(UN 2016)
Nada membeli kue untuk lebaran. Harga satu kaleng kue nastar sama dengan 2  kali harga satu kaleng kue keju. Harga 3 kaleng kue nastar dan 2 kaleng kue  keju Rp480.000,00. Uang yang harus dibayarkan Nada untuk membeli 2 kaleng kue nastar dan 3 kaleng kue keju  adalah…..A. Rp480.000,00B. Rp420.000,00C. Rp360.000,00D. Rp180.000,00
Pembahasan:Misalkan:
Kue Nastar =  x
Kue Keju = y
Model matematika:
* Harga satu kaleng kue nastar sama dengan 2  kali harga satu kaleng kue keju:
   x = 2y …..(1)* Harga 3 kaleng kue nastar dan 2 kaleng kue  keju Rp480.000,00
   3x + 2y = 480.000 …….(2)Ditanyakan: Harga 2 kaleng kue nastar dan 3 kaleng kue keju.
Subtitusi persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh:
3x + 2y = 480.000
3(2y) + 2y = 480.000
<=> 6y + 2y = 480.000
<=> 8y =  480.000
<=> y = 480.000/8
<=> y = 60.000
Subtitusi nilai y = 60.000 ke persamaan (1), diperoleh:
x = 2y = 2(60.000) = 120.000
Harga 2 kaleng kue nastar dan 3 kaleng kue keju:
2x + 3y = 2(120.000) + 3(60.000)
             = 240.000 + 180.000
             = 420.000
Jadi, harga 2 kaleng kue nastar dan 3 kaleng kue keju adalah Rp420.000,00
(JAWABAN :  B) 

4.Soal ❹(UN 2016)
Harga 1 ikat bayam sama dengan harga dua ikat kangkung. Bu Aminah membeli 20 ikat bayam dan 50 ikat kangkung seharga Rp225.000,00. Bu  Aisyah membeli 25 ikat bayam dan 60 ikat kangkung. Harga yang harus dibayar bu Aisyah adalah…..A. Rp220.000,00B. Rp275.000,00C. Rp290.000,00D. Rp362.000,00
Pembahasan:Misalkan:
Harga 1 ikat bayam = x
Harga 1 ikat kangkung = y
Model matematika:
* Harga 1 ikat bayam sama dengan harga dua ikat kangkung:
   x = 2y ……..(1)* Harga 20 ikat bayam dan 50 ikat kangkung seharga Rp225.000,00.
   20x + 50y = 225.000 ……..(2)Ditanyakan: Harga 25 ikat bayam dan 60 ikat kagkung.
Subtitusi persamaan persamaan (1) ke persamaan (2):
20x + 50y = 225.000
20(2y) +50y = 225.000
<=> 40y +50y = 225.000
<=> 90y = 225.000
<=> y = 225.000/90
<=> y =2.500
Subtitusi nilai y =2.500 ke persamaan (1).
x = 2y = 2(2.500) = 5.000
Harga 25 ikat bayam dan 60 ikat kangkung:
25x + 60y = 25(5.000) +60(2.500)
                = 125.000 + 150.000
                = 275.000
Jadi, harga 25 ikat bayam dan 60 ikat kangkung adalah Rp275.000,00.
(JAWABAN: B)

5.Soal ❺(UN 2015)
Umur ayah p tahun dan ayah 6 tahun lebih tua dari paman. Jika jumlah umur paman dan ayah 38 tahun, maka model matematika yang tepat adalah…..A. 2p + 6 = 38B. 2p – 6 = 38C. p + 6 = 38D. p – 6 = 38
Pembahasan:
Diketahui: umur ayah = p tahun.
Misal umur paman = y tahunModel matematika:
* Umur ayah 6 tahun lebih tua dari paman:
   p = y + 6
   y = p – 6 ……(1)* Jumlah umur paman dan ayah 38
   y + p = 38 ……..(2)
Subtitusi persamaan (1) ke persamaan (2), diperoleh:
y + p = 38
<=> (p – 6) + p = 38
<=> 2p – 6 = 38
(JAWABAN: B)

6.Soal ❻(UN 2015)
Fikri membeli 5 buku tulis disebuah toko, ia membayar dengan uang Rp20.000,00 dan mendapat pengembalian Rp2.500,00. Jika harga 1 buku tulis tersebut x  rupiah, maka model matematika yang benar adalah…..A. 20.000 – 5x = 2.500B. 5x – 2.500 = 20.000C. 20.000 – (x+5) = 2.500D. x + 5 = 20.000  – 2.500
Pembahasan:Diketahui:Harga 1 buku tulis = x  rupiah
Model matematika:
* Fikri membeli 5 buku tulis => 5x
* Fikri membayar Rp20.000,00 => 5x = 20.000
* Uang kembalian = Rp2.500,00
Jadi, total uang = harga 5 buku tulis + pengembalian atau
20.000 = 5x + 2.500 
20.000 – 5x = 2.500
(JAWABAN : A)

7.Soal ❼(UN 2015)Suatu persegi panjang, panjangnya 5 cm lebih dari lebar. Jika keliling persegi panjang 38 cm dan  lebar x cm, maka model  matematikanya adalah….A.  5 +  x = 38B. 2(2x + 5) = 38C. 2(x + 5) =38D. 5 + 2x = 38
Pembahasan:Diketahui:
Lebar persegi panjang = x cm
Model matematika:* Panjangnya 5 cm lebih dari lebar:
   p = x + 5
* Keliling persegi panjang = 38 cm
   <=> 2(panjang + lebar) = 38
   <=> 2((x + 5) + x) = 38
   <=> 2(2x + 5) =  38Jadi, model  matematikanya adalah 2(2x + 5) = 38
(JAWABAN: B)

8.Soal ❽(UN 2014) 
Diketahui keliling persegi panjang 94 cm dengan ukuran panjang (5x + 2) cm, dan lebar (2x + 3) cm, maka panjang dan lebar persegi panjang sebenarnya berturut-turut adalah….A. 24 cm dan 23 cmB. 25 cm dan 22 cmC. 32 cm dan 15 cmD. 36 cm dan 11 cm
Pembahasan:Diketahui:
Keliling persegi panjang = 94 cm
Panjang = (5x + 2) cm
Lebar = (2x + 3) cm
Ditanyakan:
Panjang dan lebar sesungguhnya.
Penyelesaian:
Keliling = 94
<=> 2(p + l) = 94
<=> 2((5x+2)+(2x+3)) = 94
<=> 2(7x + 5) = 94
<=> 7x + 5 = 94/2
<=> 7x + 5 = 47
<=> 7x = 47 – 5
<=> 7x = 42
<=> x = 42/7
<=> x = 6Panjang = 5x + 2
                = 5(6)+2
                = 30 + 2
                = 32
Lebar = 2x + 3
            = 2(6)+3
            = 12 + 3
            = 15
Jadi, panjang dan lebar persegi panjang sebenarnya berturut-turut adalah 32 cm dan 15 cm.
(JAWABAN: C)

9.Soal ❾(UN 2014)
Sebuah persegi panjang berukuran panjang (5x – 1) cm, dan lebar (2x + 2) cm. Jika  keliling persegi panjang itu 72 cm, maka panjang dan lebarnya adalah…..A. 12 cm dan 10 cmB. 16 cm dan 12 cmC. 20 cm dan 16 cmD. 24 cm dan 12 cm
Pembahasan:Diketahui:
Keliling persegi panjang = 72 cm
Panjang = (5x – 1) cm
Lebar = (2x + 2) cm
Ditanyakan:
Panjang dan lebar sesungguhnya.
Penyelesaian:
Keliling = 72
<=> 2(p + l) = 72
<=> 2((5x-1)+(2x+2)) = 72
<=> 2(7x + 1) = 72
<=> 7x + 1 = 72/2
<=> 7x + 1 = 36
<=> 7x = 36 – 1
<=> 7x = 35
<=> x = 35/7
<=> x = 5Panjang = 5x – 1
                = 5(5)-1
                = 25 – 1
                = 24
Lebar = 2x + 2
            = 2(5)+2
            = 10 + 2
            = 12
Jadi, panjang dan lebar persegi panjang sebenarnya berturut-turut adalah 24 cm dan 12 cm(JAWABAN : D)

10.Soal ⑩(UN 2013)
Jumlah 3 bilangan genap berurutan sama dengan 90. Jumlah bilangan terbesar dan terkecil adalah…..A. 50B. 60C. 62D. 64
Pembahasan:Misalkan:
Bilangan genap pertama = x, maka:
Bilangan genap kedua = x + 2
Bilangan genap ketiga = x + 4
Jumlah ketiga bilangan = 90
<=> x + (x + 2) + (x + 4) = 90
<=> 3x + 6 = 90
<=> 3x = 90 – 6
<=> 3x = 84
<=> x = 84/3
<=> x = 28
Jadi:
Bilangan pertama = 28
Bilangan kedua = 30
Bilangan ketiga = 32
Bilangan terbesar + terkecil = 32 + 28 = 60
(JAWABAN: B)